1 ちょっと統計の話をしようか

統計学って聞くと、殆どの方が「苦手～」「わからない！」「パス！」って思うのでは。特に数学が得意な人程、統計学は躓きやすいですね。かつての僕のように。

僕は皆さんに、統計を好きになってもらいたい。そういう気持ちを込めて記事を書こうと思います。

統計学を理解するメリット（デメリットは無い）

統計学を理解すると「他人に騙されなくなる！」唯一無二のメリットですね。全ての科学論文が、実験結果を統計学的に処理し吟味し、結論を導き出します。統計を理解することは、全ての学問の基礎を学ぶことになるんです。

逆に統計を理解していないと、真実なのか否か、理解する力が付かないんですよ。

ぶっちゃけ統計は「無謀なことをしている学問」なんです

「木を見て森を見ず」って諺、聞いたことありますよね。木ばかり見ていると、森全体の状態を見失う。やってはいけない代名詞的なことわざです。医学の世界でも「病気ばかり診て、人を診ないのは、医師として失格だ！」と先輩に教わります。（特に精神医学においては、患者を取り巻く環境を診ずに診断や治療をすると、とんでもない失敗をします。）まぁ、それは置いておいて。

要するに、統計学は「木を見て、森を予測する」学問なんです。所詮、無謀なことにチャレンジしているわけです。難しくて、理解不能で当たり前。まだまだ未完成の学問です。どんどん進化しています。

だから、「いったい何本の木を、どのようにサンプリングするのか。それに見合うコストは？判断基準（エンドポイント）は？」ということが、研究ではとても重要なのです。現代では計算はコンピュータがやってくれます。研究は研究デザインが全てと言って過言ではありません。このことを、まず肝に銘じてください。

稀に統計の先生でも、このことを理解しないまま技術論だけ教えようとする人が居ます。だから生徒は統計学に苦手意識を持ってしまうんですよね～。

まずは、ギャンブルの話をしよう。

かたい話は、これくらいにいして。皆さんコイントス知ってますか？　知ってますよね！（正しいコインであれば）表と裏が２分の１の確率で出るアレです。サッカーで最初にボールを蹴る側を決めるときにも使いますよね。

「順列」と「組み合わせ」を知ろう（これが分からないと、コイントスの話が出来ない）

まずは「順列」から。ちょっと難しいけど頑張って！

A,B,C ３人の学生がいて、リレーを走る順番の組み合わせって、いくつあるか数えられますか？

「ABC」「ACB」「BAC」「BCA」「CAB」「CBA」の６通りです。

考え方としては、まず３人の内の１人を選んで、次に２人の１人を選びます。最後の１人は自動的に決まりますね。３x2x1=3! (３の階乗)になっているんです。４人だったら4!、10人だったら10!です。数学的に美しい！

では、次の段階へ。（ここから少し難しい）
１クラス３０人の学生がいて、この中から３人を選んで、リレーを走る順番を決める場合はどうでしょうか。
これも全く同じ考え方で解けます。
３０人から１人選び、２９人から１人選び、２８人から１人選ぶことになります。30x29x28=24,360通り。クラス対抗リレーの組み合わせってこんなに膨大になるんです。
でも皆さんは、誰がクラス代表のリレー選手で、どの順番で走るべきか直感で分かりますよね！人間の直感って凄いですね！

順列の公式は

となります。30P3=30x29x28です。Pは、Permutation の頭文字ですね。
nから１ずつ減らしながらr個の数字を掛けていくと覚ると楽ですよ。

つぎに「組み合わせ」について学ぼう

順列の公式が理解出来たら、組み合わせは簡単です！

３０人から３人を選ぶけど、その３人の走る順番は無視するわけですね。
３０人から３人を選ぶ「順列」の公式は30P3=30x29x28でしたね。
３人の走る順番の組み合わせは3!=3x2x1ですね。

ということは、30P3を3!で割れば良いのです。（ここ重要！！！）

となります。

n人からr人を選ぶ組み合わせの公式は、（見た目はヤヤコシイですが）

になります。順列の公式をr!で割るだけ。Cは、Combinationの頭文字ですね。
組み合わせ公式は、「分子がnからr個、分母がrの階乗」と覚えたら楽です。

簡単ですね。

確率の計算方法を知ろう

「組み合わせ」が分かったら、次は確率の計算方法を学ぼう！　確率は、起こりえる全ての事象を分母とし、観察したい事象の数を分子にして計算します。

こんな感じです。そんなに難しく無いですよね。

では、さいころを10個投げて、2個だけ１の目が出る確率は、どうなるでしょうか。

分母は、さいころ10個の目の数 = 6×6×・・・×6 = 6¹⁰　になります。

分子が難しいですね。以下のように考えます。
「1の目」が2個出る組合せ＝ 10個のうち2個が「１」で、残り8個が「１」以外
　　　　　　　　　　　　＝（10個から2個を選ぶ組み合わせ「1」）×（残り8個は「２」～「６」の5通り）
　　　　　　　　　　　　＝（₁₀C₂ × １）× 5⁸ = 45×5⁸

理解出来ましたか？　結構難しいですよね！😓

期待値

確率事象から計算で求められる予測値を「期待値」と言います。

例えば、袋の中に10個の玉が入っていて、3個が黒、7個が白だとします。ランダムに3個取り出すときに、2個が黒である確率はどうなるでしょう。

こんな感じで「組み合わせ」を使って計算できます。では黒玉が０個～３個になる、それぞれの期待値はどうなるかというと、

となります。これを表にまとめると下記のようになります。全ての確率の和は１になります。度数分布表に似てますね！

黒玉	確率
0	0.292
1	0.525
2	0.175
3	0.008

コイントス実験

実は、次女が小学校時代に夏休みの研究テーマに悩んでて、直ぐに出来て面白い実験として「１０円玉１０枚を投げたら、表が何枚出るのか」を研究してもらいました。
家族ぐるみでハマって100回やって、１度も全部表（または裏）は出ませんでした。

なかなか素晴らしい結果ですね！！！　綺麗な釣鐘型になっています。

ちなみに全て表または裏になる確率って、わかります？計算で求めることができます。ここで組み合わせ(Combination)の知識が必要になるんです。表計算ソフトExcel,Calcでは=COMBIN(10,0) ～ =COMBIN(10,10)で簡単に計算できます。実際に計算した結果を示します。

何と512回に１回の確率で全て表か裏が出ます。如何にギャンブルが無謀なことか、わかりますか？

二項分布から正規分布が発明された

コイン投げを何度も繰り返して得られるこの分布を「二項分布」と言います。コイントスのように「表・裏」の２項目から得られる分布だからです。平均値を中心に、左右対称の釣鐘型になっています。

コンピューターが無かった時代に、この二項分布を計算するのは大変骨が折れる作業でした。従って過去の統計学者は、この釣鐘型を平均値と分散値の２つのパラメーターで表現できないかと研究し、1730年にド・モアブルが二項分布のｎを非常に大きくすると、正規分布の式で近似できることを発見しました。その後、ラプラスが精密化し、統計学者の中では発見者に敬意を示し、ドモアブル・ラプラスの定理と呼ばれています。
正規分布はガウス分布と呼ばれることもしばしばあります。これは18世紀から19世紀に渡って活躍した数学者C.F.ガウスに由来します。ガウスは天文学の観測データの研究から測定誤差がある法則に従うことを導き出し、誤差理論を確立しました。これが正規分布を統計学に応用した基礎となったと言われています。ガウスは自分が独自に発見したと主張したとか？　まぁ、大人な事情が見え隠れしますよね。

正規分布は平均をμ、分散をσとし、次の式で表現されます。(注：式のイメージはWikipediaのものです。)

更に、平均値を０、分散値を１と定義し、最もシンプルな形にしたのが「標準正規分布」の式です。統計学の「メートル原器」みたいなものですね。

これなら手計算でも表が書けそうですね！実際に統計の教科書の巻末付録に標準正規分布の面積の表を見たことあるでしょう。アレですよ！今ならパソコンでちょちょいと計算出来ますが、昔の人は手計算で頑張ったんです！

標準正規分布の特徴は、全体を積分すると面積が１であり、平均値±１SDに68.26%、±2SDに95.44%の面積が含まれます。（ピッタリ95%は1.96 SD、99%は2.58 SDになります。）
上手い事できてる式ですよね。人間が使いやすいように考案した近似式なんです。
数学が得意な人は「近似式＝適当」って感じが、ピンとこないですよね。
統計学は実用化を目的に考案された学問なのです。